ЕГЭ и ГИА

ЕГЭ, ГИА

Рекомендации по совершенствованию методики преподавания и содержания курса математики в школе по итогам ЕГЭ 2014 года

Итоги ЕГЭ 2014 года позволяют выделить следующие ключевые проблемы неуспешности сдачи экзамена по математике:

·      неумение читать и понимать текст условия задачи;

·      несформированность базовых вычислительных навыков;

·      неумение решать базовые задачи, требующие применения математики в жизненных ситуациях;

·      несформированность наглядных геометрических представлений;

·      несформированность навыков самоконтроля при решении математических задач

Итоги ЕГЭ 2014 года позволяют выделить следующие ключевые проблемы, определяющие недостаточное количество выпускников, показывающих уровень подготовки, необходимый для успешного продолжения образования в профильных ВУЗах

·      несформированность базовой логической культуры в основной школе;

·       недостаточная алгебраическая подготовка в основной школе;

·       недостаточное владение геометрическими знаниями, отсутствие графической культуры;

·       неумение проводить анализ условия задачи, осуществлять поиск путей решения, неумение применять стандартные алгоритмы в измененной ситуации;

·       неумение находить и исправлять ошибки в собственных рассуждениях и алгебраических преобразованиях и в вычислениях.

Указанные проблемы вызваны, в том числе, системными недостатками в преподавания математики, преодоление которых приведет общему повышению качества математической подготовки учащихся:

·      отсутствие реального текущего контроля, системы выявления и ликвидации пробелов в осваиваемых математических компетенциях, начиная с 6 класса;

·      отсутствие системной поддержки углубленного математического образования в 8–11 классах;

·      отсутствие действительного профильного обучения в 10–11 классах;

·      низкая эффективность уроков математики, особенно в 10–11 классе, в том числе из-за перегруженности программ материалом, к освоению которого фактически не готово значительное количество учащихся старшей школы;

·      подмена освоения курса математики натаскиваем на формальные выполнения действий по алгоритмам;

·      отсутствие мотивации к изучению математики у многих учащихся, отсутствие общественного понимания необходимости изучения всего объема текущего курса математики всеми учащимися, общественного консенсуса по вопросу содержания курса математики;

·      недостаточная мотивация к изучению математики на углубленном и профильном уровне, резкое сокращение количества классов, в которых математика преподается в объеме более 4 часов в неделю;

·       отсутствие во многих регионах системной работы по развитию математического таланта учащихся;

·      недостаточная квалификация педагогов, в том числе предметная (неумение решать задачи), неумение использовать дистанционные формы работы.

 Группы выпускников с различным уровнем подготовки

В группу I попадают экзаменуемые, фактически не овладевшие математическими компетенциями, требуемыми в повседневной жизни, и допускающие значительное число ошибок в вычислениях, при чтении условия задачи.

Среди участников ЕГЭ по математике с низким уровнем подготовки характерно разделение между относительно высокими показателями в заданиях В1, В3, В4 и низкими показателями выполнения прочих заданий. Тревогу вызывает то, что задание В2 (проценты) для группы I оказалось крайне сложным (34,5%). По сути, экзаменуемые этой группы более-менее справились только с практико-ориентированными заданиями, т. е. фактически учащиеся этой группы имеют существенные пробелы даже в знании материала основной школы.

Сравним результаты участников разных групп при выполнении практико-ориентированных заданий, заданий по алгебре и началам анализа и заданий по геометрии основной и старшей школы. К практико-ориентированным заданиям относятся шесть заданий В1 – В4, В6 и В12. Шесть заданий В5, В8, В10, В13, С2 и С4 – геометрические. Девять заданий В7, В9, В11, В14, В15, С1, С3, С5 и С6 относятся к заданиям по алгебре и началам анализа

Наиболее слабая группа получает свои баллы в основном за практико-ориентированные задания (85,3%).

Вклад геометрии выше, чем вклад алгебры и анализа по всем группам. Разница особенно заметна для базовых групп. Это объясняется наличием наглядных заданий по геометрии, которые можно выполнить, опираясь лишь на картинку и здравый смысл.

Чем более подготовлена группа, тем меньше рассеивание показателей.

Анализ приведенных вкладов подтверждает тезис о том, что выпускники группы I практически не овладевают материалом старшей школы. Видно, что они получают баллы в основном за счет заданий основной школы.

Организация работы с учащимися, планирующими выполнение экзаменационной работы только на базовом уровне

Для учащихся группы I, фактически не овладевших математическими компетенциями, требуемыми в повседневной жизни, и допускающих значительное число ошибок в вычислениях, при чтении условия задачи, образовательный акцент должен быть сделан на формирование базовых математических компетентностей. Учащиеся этой группы будут иметь возможность сдавать экзамен по математике на базовом уровне. Эта группа учащихся должна быть под особым контролем образовательной организации. Для контроля формирования математических компетентностей обычно используют диагностические карты. Для учащихся этой группы учебный материал старшей школы должен даваться обзорно. Дополнительно потребуется часы для ликвидации проблем в базовых предметных компетенциях

Для учащихся группы II, фактически слабо овладевших математическими компетенциями, требуемыми в повседневной жизни, и допускающих большое число ошибок в вычислениях, при чтении условия задачи, образовательный акцент так же должен быть сделан на формирование базовых математических компетентностей. Учащиеся этой группы будут иметь возможность сдавать экзамен по математике на базовом уровне. Для этой группы учащихся обучение может быть таким же, как и для учащихся группы I.

Для подготовки к государственной итоговой аттестации учащихся названных категорий следует различными диагностическими процедурами выявить 9–12 заданий экзамена базового уровня, которые учащийся может выполнить, возможно, с ошибками, и в процессе обучения добиться стабильного выполнения этих заданий. Расширять круг этих заданий следует поэтапно.

Эта работа может быть организована для различных групп учащихся одного класса на разных уровнях в урочной и внеурочной работе.

В обучении учащихся, имеющих значительные пробелы в знаниях и слабые вычислительные навыки, программа обучения должна быть сориентирована на компенсирующее обучение по курсу математики основной школы. 

Для организации итогового повторения задания базового уровня можно условно разбить на следующие тематические блоки.

 Задачи на вычисления (задания 1, 2).

Задание 1: арифметические действия с обыкновенными и десятичными дробями, c целыми отрицательными числами. Для успешного выполнения такого типа заданий учащимся необходимо добиться правильного выполнения действий сложения, вычитания, умножения и деления дробей (десятичных и обыкновенных) и отрицательных чисел. Такие задания должны быть на каждом уроке.

Задание 2: действия со степенями с целым показателем, стандартный вид числа. Следует обратить внимание на то, что все правила действий со степенями даны в справочных материалах. По опыту известно, что действия с числами, представленными в стандартном виде, могут вызывать у учащихся затруднения, так как в традиционных курсах на эту тему отводится недостаточное количество времени. Стоит выделить на повторение этой темы отдельные занятия

Простейшие алгебраические задачи (задания 4, 5, 7).

После получения стабильных результатов при выполнении заданий на вычисления можно переходить к «одно-двухходовым» уравнениям (линейным, квадратным, простейшим показательным и логарифмическим). Задания базового уровня проверяют прежде всего знание и применение стандартных алгоритмов решений уравнений. Как правило, задание № 7 оказывается посильным практически для всех учащихся при условии овладения умением проводить безошибочно (или обнаруживая и устраняя ошибки) несколько стандартных действий.

В задаче 4 (работа с формулой) нужно подставить числовые данные в формулу. Иногда задача сводится к нахождению числового выражения, а иногда к решению линейного уравнения.

В задаче 5 (нахождение значения выражения) требуется умение применить простейшие свойства тригонометрических, показательной и логарифмической функций. Все необходимые свойства указаны в Справочных материалах. С вычислительной стороны эта задача не представляет большой сложности.

В задаче 7 (решение уравнений) требуется умение решать линейные, квадратные, простейшие показательные, тригонометрические и иррациональные уравнения. Все необходимые свойства указаны в Справочных материалах. С вычислительной стороны это задание требует особого контроля.

Текстовые задачи с практическим содержанием (задания 3, 6).

К решению текстовых задач можно приступать после получения устойчивых вычислительных навыков. Задание 3 относится к вычислительной задаче на проценты и части с естественной формулировкой. После подготовительной работы по нахождению процентов от числа (пропорции, процента как сотой части числа и основных типов задач на проценты) и нахождению части числа задача не должна вызывать затруднения у учащихся. Следует особо обратить внимание на такие понятия как «скидка», «наценка».

Задание 6 также является вычислительной задачей с практическим контекстом. Для ее успешного выполнения потребуется не только владение вычислительными навыками, но и умение принимать решение об округлении числа с недостатком или с избытком в соответствии с условием задачи (математические правила округления чисел часто приводят к неверному описанию реальной ситуации).

Чтение диаграмм и графиков (задания 11, 12).

Выполнение задания 11 не основывается на применении арифметических действий с числами, но требует умения однократного считывания информации, представленной в виде графиков, диаграмм или таблиц. Поэтому подготовку обучающихся к выполнению таких заданий, как чтение столбиковых диаграмм (нахождение наибольшего или наименьшего, определение номера по убыванию или возрастанию) или нахождение наибольшего значения по графику, можно осуществлять на каждом уроке. Важно добиться стабильного выполнения задач такого типа.

Выполнение задания 12 основывается на правильном получении данных из таблицы, составлением нескольких наборов (с учетом выбора оптимального) и некоторым объемом вычислительной работы. Подготовка к выполнению заданий такого типа может осуществляться параллельно с решением вычислительных примеров и текстовых задач или после получения стабильных результатов при выполнении действий с числами.

Задание 17 проверяет умение сравнивать различные величины (в том числе иррациональные), не находя их точных значений, и располагать их на числовой прямой, а также решать неравенства. Действия с координатной прямой сложны для  многих учащихся,  поэтому стоит начинать с самых простых заданий «отметить точку с координатами (целыми,  дробными, иррациональными) на координатной прямой», «сравнить числа (целые, дробные, иррациональные) с помощью координатной прямой»  и т.д. Геометрические задачи (задания 8, 13, 15, 16).

Задание 8 проверяет умение применять знания о геометрических объектах к решению практических задач. В демонстрационном варианте представлен набор планиметрических задач на нахождение площади или периметра многоугольника, причем в форме простой практической задачи.

Задание 13 проверяет умение решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (площадей, объемов). Необходимые для решения задачи формулы представлены в Справочных материалах. Стоит обратить внимание учеников на то, как меняются площадь или объем при изменении длины того или иного элемента (ребро куба, радиус основания цилиндра и т.д.).

Задание 15 представляет собой «двухходовую» планиметрическую задачу на основные факты курса планиметрии, за исключением тем «Векторы» и «Координаты».

Задание 16 проверяет умение решать простейшие стереометрические задачи на нахождение различных геометрических величин. Формулы для нахождения объема, площади поверхности даны в Справочных материалах.

Задание 9 проверяет знание возможных значений величин реальных объектов. Для успешного выполнения этого задания учащиеся должны уметь переводить одни единицы измерения в другие (длина, площадь, объем, масса и т.д.). Часто для решения этой задачи достаточно расположить данные задачи в порядке возрастания (убывания) и соотнести величины и их возможные значения.

Задание 18 проверяет сформированность у учеников общей логической культуры. Для получения логической цепочки не требуется применение вычислительных навыков.

Задание 10 (по теории вероятностей и статистике) проверяет умение строить и исследовать простейшие математические модели, а также знание учащимися элементов теории вероятностей. Задание содержит простую практико-ориентированную задачу на классическое определение вероятности.

Задание 14 проверяет умение исследовать характер поведения функции, заданной графически, без непосредственного вычисления производной. Ученики должны показать умение сравнивать скорости роста функции на разных промежутках.

Задание 19: задача на конструирование числа с заданными свойствами. Для ее решения нужно повторить с учениками признаки делимости. При решении задачи можно использовать разумный перебор. Важно отметить, что в ответе необходимо записать только одно из чисел, обладающих нужными свойствами.

Задание 20 демонстрационного варианта относится к разряду «задач на смекалку» и в таком виде присутствует в многочисленных сборниках по занимательной математике, решения таких заданий повышает мотивацию к изучению математики, развивает мышление учащихся.

Методические рекомендации для учителя по подготовке обучающихся к выполнению заданий базового уровня государственной итоговой аттестации по математике

Задание 1: арифметические действия с обыкновенными и десятичными дробями, c целыми отрицательными числами.

 Найдите значение выражения

Для успешного выполнения такого типа заданий учащимся необходимо добиться правильного выполнения действий сложения, вычитания, умножения и деления десятичных дробей, обыкновенных дробей и отрицательных чисел. Обязательно нужно включать вычислительные примеры на два-три действия на порядок действий и совместные действия десятичных и обыкновенных дробей, положительных и отрицательных чисел. Такие задания нужно решать на каждом уроке.

Задание 2: действия со степенями с целым показателем, стандартный вид числа

 По опыту известно, что действия с числами, представленными в стандартном виде, могут вызывать у учащихся затруднения, так как в традиционных курсах на эту тему отводится недостаточное количество времени. Для обучающихся со слабой математической подготовкой нужно особое внимание уделить по работе со справочными материалами. По возможности нужно на повторение этой темы выделить отдельные занятия, и задания такого типа нужно решать на каждом уроке.

Задание 3 является к вычислительной задачей на проценты и части с естественной формулировкой.

Подоходный налог в РФ составляет 13% заработной платы. Сколько рублей получает работник после уплаты подоходного налога с заработной платы в 20 000 рублей?

Для успешного выполнения такого типа заданий учащимися необходимо добиться понимания понятий «процент» и «часть». К решению текстовых задач можно приступать после получения устойчивых вычислительных навыков. После подготовительной работы по нахождению процентов от числа (пропорции, процента как сотой части числа и основных типов задач на проценты) и нахождению части числа можно предлагать обучающимся задачи на вычисление процентов от числа, на части. Следует особо обратить внимание на такие понятия как «скидка», «наценка». По возможности нужно на повторение этой темы выделить отдельные занятия, и задания такого типа нужно включать в урочную и внеурочную работу

Задача 4 относится к задачам, связанными с работой с формулой.

Найдите  m  из сооношения   F=ma ,

 если  F=84 , a=12

К решению задач такого типа можно приступать после получения устойчивых вычислительных навыков и повторения решений линейных уравнений.

Не следует добиваться от обучающихся со слабой математической подготовкой сначала выражения из формулы неизвестной переменной через известные, потом выполнение подстановки в полученную формулу и только потом вычисления. Имеет смысл сразу подставить данные значения переменных в формулу, а потом решать полученное уравнение с обязательной проверкой полученного результата.

Задания такого типа нужно включать в урочную и внеурочную работу

Задача 5 на нахождение значения выражения тригонометрического, иррационального, показательного (простейшего), логарифмического. В демонстрационном варианте одно из выражений дано тригонометрическое.

Найдите  sin390 .

Следует обратить внимание на то, что все материалы по тригонометрии даны в справочных материалах в разделах «тригонометрические функции на круге», «некоторые значения тригонометрических функций», поэтому можно воспользоваться таблице для нахождения , и останется записать в виде десятичной дроби. Наличие разделов «таблица квадратов целых чисел от 0 до 99» и «арифметический квадратный корень» могут помочь при решении примеров с корнем, «логарифм и свойства логарифмов» – при решении примеров с логарифмами, «свойства степени» – при выполнении действий со степенями.

С вычислительной стороны эта задача не представляет большой сложности.

Задания на нахождение значений выражений тригонометрических, иррациональных, логарифмических, показательных (на два-три шага) нужно включать в урочную и внеурочную работу.

Задание 6 является вычислительной задачей с практическим контекстом.

Баночка йогурта стоит 4 рубля 60 копеек. Какое наибольшее количество баночек йогурта можно купить на 25 рублей?

Для успешного решения задач такого типа потребуется не только владение вычислительными навыками, но и умение принимать решение об округлении числа с недостатком или с избытком в соответствии с условием задачи (математические правила округления чисел часто приводят к неверному описанию реальной ситуации).

Задача 7 на умение решать квадратные, простейшие иррациональные, показательные, логарифмические уравнения.

В демонстрационном варианте одно из уравнений дано квадратное.

Найдите отрицательный корень уравнения .

Формулы корней квадратного уравнения в справочных материалах

позволят обучающемуся со слабой математической подготовкой сосредоточиться не на воспроизведении формулы, а на ее применении. Вычислив корни, останется принять самостоятельно решение о включении нужного корня в ответ. С вычислительной стороны это задание требует особого контроля, поэтому имеет смысл проверять найденные корни подстановкой в уравнение.

Задание 8 проверяет умение применять знания о геометрических объектах к решению практических задач.

В демонстрационном варианте представлен набор планиметрических задач на нахождение площади или периметра многоугольника, причем в форме простой практической задачи.

План местности разбит на клетки размером 10 м  10 м. Найдите площадь участка, изображенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

Следует обратить внимание на то, что все вспомогательные материалы даны в справочных материалах в разделе «площади многоугольников». Для обучающихся со слабой математической подготовкой первым шагом решения геометрической задачи должно быть построение чертежа. После этого следует определить необходимые данные для получения ответа на поставленный вопрос.

Задание 9 проверяет знание возможных значений величин реальных объектов.

Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите  соответствующий элемент из второго столбца

Для успешного выполнения этого задания учащиеся должны уметь переводить одни единицы измерения в другие (длина, площадь, объем, масса и т.д.). Часто для решения этой задачи достаточно расположить данные задачи в порядке возрастания (убывания) и соотнести величины и их возможные значения.

Задания на разумную оценку возможных величин реальных объектов необходимо включать в повседневную урочную работу и внеурочную работу.

Задание 10 по теме «Теория вероятностей и статистика». В чемпионате по прыжкам в воду участвуют 35 спортсменов: 7 из России, 12 из Китая, 9 из Японии и 7 из США. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется представителем России.

Задание предполагает владение понятием равновероятностных исходов эксперимента, навыками определения общего числа исходов эксперимента и выделения благоприятных исходов. Освоение понятия равновероятных исходов полезно проводить путем детального исследования стандартных моделей экспериментов – подбрасывание симметричной монеты, бросания игральной кости (кубика), бросания жребия в различных практических ситуациях. На этих же примерах целесообразно научиться определять общее число возможных исходов и подсчитывать число благоприятных исходов в зависимости от данных в условии задания.

Тема «Теории вероятностей и статистика» должна изучаться на отдельных уроках. Только после изучения данной темы задания можно включать в урочную работу и нужно включать во внеурочную работу.

Задание 11 на проверку умений работать с диаграммами, графиками и таблицами данных.

В таблице показано распределение количества медалей на олимпийских играх в Сочи среди стран, занявших первые 10 мест по количеству золотых медалей. Сколько серебряных медалей у страны, имеющей наибольшее количество бронзовых медалей

Выполнение такого задания не основывается на применении арифметических действий с числами, но требует умения однократного считывания информации, представленной в виде графиков, диаграмм или таблиц. Поэтому подготовку обучающихся к выполнению таких заданий, как чтение столбиковых диаграмм (нахождение наибольшего или наименьшего, определение номера по убыванию или возрастанию) или нахождение наибольшего значения по графику, можно осуществлять на каждом уроке. Важно добиться стабильного выполнения задач такого типа.

Задание 12 на проверку умений работать с таблицами данных и моделировать различные комбинации.

Для обслуживания международного семинара необходимо собрать группу из числа переводчиков, сведения по которым представлены в таблице

Выполнение этого задания основывается на правильном получении данных из таблицы, составлением нескольких наборов (с учетом выбора оптимального) и некоторым объемом вычислительной работы. Подготовка к выполнению заданий такого типа может осуществляться параллельно с решением вычислительных примеров и текстовых задач или после получения стабильных результатов при выполнении действий с числами.

Задание 13 проверяет умение решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (площадей, объемов).

В сосуд цилиндрической формы налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в 4 раза больше, чем у первого? Ответ дайте в сантиметрах.

 В ходе обучения и итогового повторения следует обращать внимание учеников не только на вычислительные формулы, но и на характер изменения площадей и объемов при изменении разных элементов фигуры.

Задание 14 проверяет умение исследовать характер поведения функции, заданной графически, без непосредственного вычисления производной.

Ученики должны продемонстрировать умение сравнивать скорости изменения функции. Знаний «касательная образует тупой угол с положительным направлением с осью Ох – функция убывает» и «касательная образует острый угол с положительным направлением с осью Ох – функция возрастает» или «идешь в гору – функция возрастает», «идешь с горы – функция убывает» недостаточно для выполнение этого задания. От обучающегося уже требуется умение различать по положению касательных – в какой точке производная принимает значение –1, а в какой – –5,5

Задание 15 – геометрическая (планиметрическая) задача.

Необходимые для выполнения задания материалы представлены в справочных материалах в разделе «тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника».

Планиметрическая задача, выносимая на итоговую аттестацию, чаще всего представляет собой «двухходовую» планиметрическую задачу на основные факты курса планиметрии, за исключением тем «Векторы» и «Координаты».

Задание 16 – геометрическая (стереометрическая) задача.

Объём параллелепипеда равен 15. Найдите объём пирамиды (см. рисунок).

Стереометрическая задача, выносимая на итоговую аттестацию, чаще всего проверяет умение решать простейшие стереометрические задачи на нахождение различных геометрических величин. Формулы для нахождения объема, площади поверхности даны в справочных материалах.

Задание 17 проверяет умение сравнивать числа с помощью координатной прямой и решать неравенства.

На координатной прямой точками отмечены числа a, b, c, d и m. Установите соответствие между указанными точками и числами из правого столбца.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

В этом задании проверяется умение сравнивать различные величины (в том числе иррациональные), не находя их точных значений, и располагать их на числовой прямой, а также решать неравенства. Действия с координатной прямой сложны для многих учащихся, поэтому стоит начинать с самых простых заданий «отметить точку с координатами (целыми, дробными, иррациональными) на координатной прямой», «сравнить числа (целые, дробные, иррациональные) с помощью координатной прямой» и т.д.

Задание 18Задание 18 проверяет умение устанавливать логические связи.

В городе Z в 2013 году мальчиков родилось больше, чем девочек. Мальчиков чаще всего называли Андрей, а девочек – Мария. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.

Среди рождённых в 2013 году в городе Z:

1) девочек с именем Мария больше, чем с именем Светлана.

2) мальчиков с именем Николай больше, чем с именем Аристарх.

3) хотя бы одного из родившихся мальчиков назвали Андреем.

4) мальчиков с именем Андрей больше, чем девочек с именем Мария.

В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Задания такого типа проверяют сформированность у обучающихся общей логической культуры. Для получения логической цепочки не требуется применение вычислительных навыков. В ответе нужно записать одно число (с точностью до перестановки).

Задание 19: задача на конструирование числа с заданными свойствами.

Приведите пример набора из четырёх натуральных чисел, произведение которых равно 60, а сумма 25.

В ответе запишите числа через точку с запятой.

Для решения такого типа нужно повторить с обучающимися разложение числа на множители, для решения других задач нужны признаки делимости. При решении задачи можно использовать разумный перебор. Важно отметить, что в ответе необходимо записать только одно из чисел, обладающих нужными свойствами.

Задание 20 – задача на «смекалку».

Улитка за день залезает вверх по дереву на 3 м, а за ночь спускается на 2 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней улитка поднимется на вершину дерева?

Задачи такого типа присутствует в многочисленных сборниках по занимательной математике.